Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Гармонический ряд

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества чисел вида

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$

Ряд называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.

Члены гармонического ряда с возрастанием номера $n$ убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы $S_n$ неограниченно возрастают:

$n_1=1$; $n_2=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$; $n_3=\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,333}$; $n_4=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$; $n_5=\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$; $n_6=\frac{1}{6}\approx \mathrm{0,167}$;

$S_1=1$; $S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}$; $S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\approx \mathrm{1,833}$; $S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\approx \mathrm{2,083}$; $S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{137}{60}\approx \mathrm{2,283}$; $S_6=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20}=\mathrm{2,45}$.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что сумма $2^n$ членов гармонического ряда больше, чем $1+n/2$, поэтому частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, то есть гармонический ряд является расходящимся. Однако этот рост происходит очень медленно, и изучавший свойства гармонического ряда Леонард Эйлер установил зависимость для его частичных сумм:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(S_n-\ln n)=\gamma$,

где $\gamma \approx \mathrm{0,5772}$ — постоянная Эйлера.

Литература

• Гармонический ряд // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — С. 53. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7