Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Гармонический ряд

Материал c сайта НП «Викимедиа РУ»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества чисел вида

Ряд называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.

Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы неограниченно возрастают:

;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что сумма членов гармонического ряда больше, чем , поэтому частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, то есть гармонический ряд является расходящимся. Однако этот рост происходит очень медленно, и изучавший свойства гармонического ряда Леонард Эйлер установил зависимость для его частичных сумм:

,

где — постоянная Эйлера.

Литература

[править]
  • Гармонический ряд // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — С. 53. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7