Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Гармонический ряд

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества чисел вида

$\sum _{n=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots$

Ряд называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.

Члены гармонического ряда с возрастанием номера $n$ убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы $S_{n}$ неограниченно возрастают:

$n_{1}=1$; $n_{2}={\frac {1}{2}}=0{,}5$; $n_{3}={\frac {1}{3}}\approx 0{,}333$; $n_{4}={\frac {1}{4}}=0{,}25$; $n_{5}={\frac {1}{5}}=0{,}2$; $n_{6}={\frac {1}{6}}\approx 0{,}167$;

$S_{1}=1$; $S_{2}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}=1{,}5$; $S_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}\approx 1{,}833$; $S_{4}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {25}{12}}\approx 2{,}083$; $S_{5}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}={\frac {137}{60}}\approx 2{,}283$; $S_{6}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}={\frac {49}{20}}=2{,}45$.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что сумма $2^{n}$ членов гармонического ряда больше, чем $1+n/2$, поэтому частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, то есть гармонический ряд является расходящимся. Однако этот рост происходит очень медленно, и изучавший свойства гармонического ряда Леонард Эйлер установил зависимость для его частичных сумм:

$\lim _{n\to \infty }(S_{n}-\ln {n})=\gamma$,

где $\gamma \approx 0{,}5772$ — постоянная Эйлера.

Литература

• Гармонический ряд // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — С. 53. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7