Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Факториал

Факториал (от лат. factorialis — «умножающий») — функция, определённая для целых неорицательных чисел.

Факториалы чисел от 0 до 10

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800

Факториал числа $n$ равен произведению всех натуральных чисел от 1 до $n$, то есть $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$. Например, факториал числа 5 равен $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$. В качестве соглашения для числа $n=0$ полагают, что $0!=1$.

Особенно часто факториал встречается в комбинаторике. Например, количество способов выстроить $n$ человек в одну шеренгу равно $n!$.

Факториал является очень быстро растущей функцией. Так, $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$, $5!=120$, …, $10!=3628800$.

Для вычисления факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности чисел английским математиком Джеймсом Стирлингом была предложена формула, позволяющая получить приближённые их значения:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

При использовании формулы Стирлинга относительная ошибка вычислений очень невелика и тем меньше, чем больше число $n$.

Помимо факториала $n!$ в математике также используются двойные факториалы $n!!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$, имеющих ту же чётность, что и $n$.

Например, двойной факториал чётного числа $n=2k$ равен

$(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k$,

а двойной факториал нечётного числа $n=2k+1$ равен

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)$.

Литература

• Факториал // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — С. 310. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7
• Факториал // Универсальная школьная энциклопедия / Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. — М.: Аванта+, 2003. — Т. 2. М—Я. — С. 468. — 592 с. — ISBN 5-94623-054-9
• Факториал // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 27. Ульяновск — Франкфорт. — С. 194. — 624 с.